Các nhà toán học vừa giải bài toán tồn tại 2.000 năm

3 giờ trướcBài gốc

Ảnh: Getty Images

Một nhóm nhà toán học vừa đạt bước tiến quan trọng đối với bài toán tồn tại từ thời Hy Lạp cổ đại liên quan đến các điểm đặc biệt trên đường cong - một trong những câu hỏi nền tảng của lý thuyết số. Kết quả mới lần đầu tiên đưa ra một công thức có thể áp dụng cho mọi đường cong, mở ra hướng nghiên cứu hoàn toàn mới trong toán học hiện đại.

Bài toán thách thức hàng thiên niên kỷ

Đường cong - những đường uốn lượn trong không gian, chẳng hạn quỹ đạo của sao chổi hay xu hướng thị trường chứng khoán - là một trong những đối tượng đơn giản nhất của toán học. Nhưng dù đã được nghiên cứu suốt hàng nghìn năm, các nhà toán học vẫn còn những câu hỏi cơ bản chưa có lời giải.

Một vấn đề khiến các nhà toán học quan tâm đặc biệt là các “điểm hữu tỉ” - những điểm trên đường cong có tọa độ là số nguyên hoặc phân số. Các điểm này thường có mối liên hệ cấu trúc chặt chẽ với nhau và đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực, trong đó có mật mã học hiện đại.

“Chúng tôi là nhà toán học, và chúng tôi quan tâm đến cấu trúc”, ông Barry Mazur, giáo sư tại Harvard University cho biết.

Từ hơn 2.000 năm trước, các nhà toán học đã đặt câu hỏi tưởng chừng đơn giản: một đường cong có bao nhiêu điểm hữu tỉ? Tuy nhiên, câu hỏi này lại cực kỳ khó trả lời.

Từ giả thuyết nổi tiếng đến bước tiến mới

Trong thế kỷ XX, nhà toán học Louis Mordell đưa ra giả thuyết rằng với các đường cong có bậc phương trình đủ cao, số điểm hữu tỉ sẽ luôn hữu hạn. Đến năm 1983, giả thuyết này được nhà toán học Gerd Faltings chứng minh - thành tựu giúp ông giành Huy chương Fields, giải thưởng danh giá nhất của toán học.

Tuy nhiên, định lý này chỉ khẳng định số điểm là hữu hạn, chứ không cho biết cụ thể có thể nhiều đến mức nào. Trong nhiều thập kỷ, các nhà toán học vẫn tìm kiếm một công thức tổng quát có thể ước lượng số lượng điểm cho mọi đường cong.

Bước ngoặt xuất hiện đầu tháng 2 vừa qua, khi ba nhà toán học Trung Quốc công bố nghiên cứu đưa ra giới hạn trên đầu tiên cho số điểm hữu tỉ của bất kỳ đường cong nào. Điều này có nghĩa là, lần đầu tiên, các nhà khoa học có một quy tắc chung áp dụng cho toàn bộ “vũ trụ” đường cong toán học.

“Đây thực sự là kết quả đáng kinh ngạc, đặt ra tiêu chuẩn mới cho những gì có thể kỳ vọng”, ông Hector Pasten tại Đại học Pontifical Catholic Chile, người không tham gia nghiên cứu, đánh giá.

Công thức chung đầu tiên cho mọi đường cong

Điểm đặc biệt của kết quả mới là tính “đồng nhất” - công thức có thể áp dụng cho mọi đường cong mà không phụ thuộc vào chi tiết cụ thể của phương trình. Đây là điều các nhà toán học mong đợi suốt nhiều thập kỷ.

Công thức phụ thuộc chủ yếu vào hai yếu tố: bậc của phương trình xác định đường cong và một cấu trúc toán học liên quan gọi là ma trận Jacobian - một đối tượng hình học đặc biệt được xây dựng từ chính đường cong đó.

Dù chưa cho biết con số chính xác, việc đặt được giới hạn trên đã giúp thu hẹp đáng kể phạm vi nghiên cứu và mở ra khả năng tiến xa hơn trong tương lai.

Ông Shenxuan Zhou tại Viện Toán học Toulouse, đồng tác giả nghiên cứu, cho biết các câu hỏi về điểm hữu tỉ nằm ở trung tâm của lý thuyết số, vì chúng liên quan trực tiếp đến cấu trúc sâu của các phương trình.

Ý nghĩa vượt ngoài toán học

Không chỉ giới hạn ở đường cong hai chiều, kết quả này còn có ý nghĩa đối với các đối tượng hình học phức tạp hơn như bề mặt hay đa tạp nhiều chiều - những cấu trúc đóng vai trò quan trọng trong vật lý lý thuyết, đặc biệt trong việc mô tả không gian và thời gian.

Trước đó, năm 2023, ông Pasten và nhà toán học Jerson Caro cũng đã đặt giới hạn trên cho số điểm hữu tỉ của một số loại bề mặt. Thành tựu mới giúp củng cố hy vọng rằng các quy luật tổng quát hơn có thể sớm được khám phá.

Chương mới cho một bài toán cổ

Các chuyên gia cho rằng làn sóng kết quả gần đây về điểm hữu tỉ có thể đánh dấu giai đoạn phát triển mới của lĩnh vực này.

“Đây là một lĩnh vực đầy hứng khởi và tiến triển nhanh”, ông Mazur nhận định. “Có điều gì đó lớn lao đang diễn ra ngay lúc này”.

Sau hơn hai thiên niên kỷ, bài toán về những điểm trên đường cong đang dần được hé lộ lời giải - minh chứng rằng ngay cả những câu hỏi cơ bản nhất trong toán học cũng có thể cần nhiều thế hệ trí tuệ nhân loại để chinh phục.

Hồng Nhung

Nguồn Đại Biểu Nhân Dân : https://daibieunhandan.vn/cac-nha-toan-hoc-vua-giai-bai-toan-ton-tai-2-000-nam-10407607.html